Τι είναι ο νόμος του Gauss: Τύπος & Παράγωγη

Η μελέτη του ηλεκτρικού φορτίου και της ηλεκτρικής ροής μαζί με την επιφάνεια είναι ο νόμος του Gauss. Είναι ένας από τους βασικούς νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού, ο οποίος ισχύει για κάθε τύπο κλειστής επιφάνειας που είναι γνωστή ως επιφάνεια Gauss. Αυτός ο νόμος εξηγείται και δημοσιεύεται από έναν Γερμανό μαθηματικό και φυσικό νόμο Karl Friedrich Gauss το έτος 1867. Περιγράφει τη σχέση μεταξύ της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου μιας επιφάνειας και του συνολικού ηλεκτρικού φορτίου που περικλείεται από αυτήν την επιφάνεια. Αυτό το άρθρο δίνει μια επισκόπηση του νόμου του γκαους στα διηλεκτρικά και τη μαγνητοστατική με μια μαθηματική έκφραση. Τι είναι ο νόμος του Γκάους; Ο νόμος του Γκάους είναι μια από τις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του Maxwell και ορίζει ότι η συνολική ηλεκτρική ροή σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με την αλλαγή που περικλείεται διαιρούμενη με επιτρεπτότητα. Σύμφωνα με αυτόν τον νόμο, η συνολική ροή που συνδέεται με μια κλειστή επιφάνεια είναι 1/E0 φορές τη μεταβολή που περικλείεται από μια κλειστή επιφάνεια. Ως ηλεκτρική ροή σε μια περιοχή νοείται το γινόμενο του ηλεκτρικού πεδίου και του εμβαδού της επιφάνειας που προβάλλεται σε επίπεδο και κάθετο στο πεδίο. Τύπος νόμου Gauss Σύμφωνα με αυτόν τον νόμο, το συνολικό φορτίο που περικλείεται σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογο με τη συνολική ροή που περικλείεται από την επιφάνεια. Σκεφτείτε εάν, Φ είναι η συνολική ροή και E0 η ηλεκτρική σταθερά, τότε το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q που περικλείεται από κλειστή επιφάνεια μπορεί να εκφραστεί ως εξήςQ= ΦE0Επομένως, ο τύπος του νόμου του γκαους μπορεί να εκφραστεί ως παρακάτω ΦE= Q/E0 Όπου, Q= Το συνολικό φορτίο εντός της δεδομένης επιφάνειας, το E0 είναι η ηλεκτρική σταθερά. Αυτή η έννοια είναι απλή και μπορεί να γίνει κατανοητή πολύ εύκολα λαμβάνοντας υπόψη το διάγραμμα του νόμου του γκαους που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η συνολική ηλεκτρική ροή μέσω της κλειστής επιφάνειας εξαρτάται από τα φορτία της κλειστής επιφάνειας και τα φορτία στο εξωτερικό της επιφάνειας δεν περιέχουν καμία ροή. Το σχήμα της επιφάνειας θεωρείται αυθαίρετα. Δεδομένου ότι η συνολική ηλεκτρική ροή είναι ανεξάρτητη από τη θέση των φορτίων μέσα στην κλειστή επιφάνεια. Αυτή η νοητή επιφάνεια ονομάζεται γκαουσιανή επιφάνεια, η οποία εξαρτάται από τη διαμόρφωση των φορτίων και τον τύπο της συμμετρίας που υπάρχει στη διαμόρφωση φορτίου. Επιλέγονται κυρίως κυλινδρικές και επίπεδες επιφάνειεςΔιάγραμμα νόμου του Γκάους Μονάδα SI νόμου του Γκάους Η μονάδα SI νόμου του Γκάους δίνεται παρακάτω. Εάν το ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερό, η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια της διανυσματικής περιοχής S είναι ΦE = E .S = ES Cos өΕάν ένα ηλεκτρικό πεδίο δεν είναι σταθερό, το ηλεκτρική ροή μέσω μικρής επιφάνειας dS δίνεται από το d ΦE = E. dSWhere E = Ηλεκτρικό πεδίοdS = διαφορικό εμβαδόν σε κλειστή επιφάνεια Η ηλεκτρική ροή έχει μονάδες SI βολτόμετρων (V m) Ένα ηλεκτρικό πεδίο είναι μια περιοχή του χώρου γύρω από ένα φορτισμένο σωματίδιο ή μεταξύ δύο τάσεις? ασκεί δύναμη σε φορτισμένα αντικείμενα που βρίσκονται κοντά του.Νόμος του Gauss Μαθηματική Έκφραση Σύμφωνα με το νόμο του Gauss, η συνολική ροή σε μια περιοχή κλειστής επιφάνειας είναι 1/E0 φορές το φορτίο που περιορίζεται από μια κλειστή επιφάνεια.∮E. ds = (1/ E0) qΓια παράδειγμα, ένα σημειακό φορτίο q τοποθετείται σε μια ακμή κύβου. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το νόμο του Gauss, η ροή που δημιουργείται μέσω κάθε όψης ενός κύβου είναι q/6 E0 Σύμφωνα με αυτόν τον νόμο, το συνολικό φορτίο που περικλείεται σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογο με τη συνολική ροή που περικλείεται από την επιφάνεια. Σκεφτείτε εάν, Φ είναι το σύνολο ροή και E0 είναι η ηλεκτρική σταθερά, τότε το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q που περικλείεται από κλειστή επιφάνεια μπορεί να εκφραστεί ως εξήςQ= Φ E0 Επομένως, ο τύπος του νόμου του γκαους μπορεί να εκφραστεί ως παρακάτωΦE= Q/E0 Όπου, Q= Συνολικό φορτίο εντός της δεδομένης επιφάνειας, Το E0 είναι η ηλεκτρική σταθεράΠαραγωγή Η παραγωγή του νόμου του γκαους δίνεται παρακάτω. Εξαγωγή του νόμου του γκαους με χρήση του νόμου του κουλόμπ, ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1: Σφαιρική επιφάνεια που περικλείει φορτίο ενός σημείου Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ενιαίο ακίνητο σημειακό φορτίο με μέγεθος EE= q/4ΠE0r2ΦE = ∮E. dA= ∮ q/4ΠE0r2. dA= q/4ΠE0r2§ dA= qA/4ΠE0r2= q4Πr2/4ΠE0r2= q/E0ΦE = ∮ E. dA = q/E0ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2: Ακανόνιστη επιφάνεια που περικλείει το ίδιο σημείο φορτίοΑφήστε τον ίδιο τύπο γραμμών πεδίου να περάσουν από την επιφάνεια A1 και A2Φ = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q/E0∮ E. dA = q/E0 Νόμος Gauss στα Διηλεκτρικά Θεωρήστε έναν παράλληλο πυκνωτή πλάκας με ίσο εμβαδόν Α και πυκνότητα φορτίου σ και θα υπάρχει κενό μεταξύ των πλακών. Το παρακάτω διάγραμμα εξηγεί αυτόν τον νόμο στα διηλεκτρικά μεταξύ των δύο παράλληλων πλακών. Στη συνέχεια, μπορούμε να αξιολογήσουμε το διάνυσμα πεδίου Ε0 στην περιοχή μεταξύ των πλακών χρησιμοποιώντας το νόμο του γκαους.Ο νόμος του Gauss στα διηλεκτρικά Ας εξετάσουμε μια επιφάνεια Gauss με σχήμα κυβοειδούς και η μία όψη είναι Gaussian, η ροή δεν θα περάσει μέσα από αυτήν και στη συνέχεια η ροή δεν θα περάσει από την κάθετη όψη σε αυτήν την όψη. Επομένως, η ροή θα περάσει μόνο από την όψη που είναι παράλληλη προς τη θετική πλάκα. Θεωρήστε τη σταθερά E0 της επιφάνειας του Gauss και ө είναι η γωνία μεταξύ του διανύσματος πεδίου και του διανύσματος εμβαδού∯S E0. dα = q/E0∯S E0 dα cosө = q/E0∯S E0 dα = q/E0E0∯S dα = q/E0E0A = q/E0E0 = q/E0AΕδώ q= A σE0 = A σ /E0AE0= σ/ E0Gauss Νόμος για τη μαγνητοστατική Αυτός ο νόμος για τον μαγνητισμό ισχύει για τη μαγνητική ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα περιοχής δείχνει από την επιφάνεια. Δεδομένου ότι οι γραμμές μαγνητικού πεδίου είναι συνεχείς βρόχοι, όλες οι κλειστές επιφάνειες έχουν τόσες γραμμές μαγνητικού πεδίου που εισέρχονται όσες και βγαίνουν. Επομένως, η καθαρή μαγνητική ροή μέσω της κλειστής επιφάνειας είναι μηδέν. Καθαρή ροή = ʃ B. dA = 0 Επομένως το καθαρό άθροισμα όλων των ρευμάτων στην κλειστή επιφάνεια είναι Μηδενικό. Ο νόμος του Gauss για τα φορτία ήταν μια πολύ χρήσιμη μέθοδος για τον υπολογισμό των ηλεκτρικών πεδίων σε εξαιρετικά συμμετρικές καταστάσεις. Ο νόμος του Gauss για τη μαγνητοστατική χρησιμοποιείται πολύ σπάνια. ΣημασίαΑυτή η ενότητα θα σας δώσει μια σαφή εξήγηση σχετικά με τη σημασία του νόμου του Gauss. Η δήλωση του νόμου του Gauss είναι σωστή και κατάλληλη για οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια ανεξάρτητη από το μέγεθος ή το σχήμα του συγκεκριμένου αντικειμένου. Ο όρος Q στον τύπο του νόμου του Gauss υποδηλώνει το άθροισμα όλων των φορτίων που είναι πλήρως εγκλεισμένα στο αντικείμενο ανεξάρτητα από τη θέση του φορτίο στην επιφάνεια. Σε ορισμένες από τις επιλεγμένες επιφάνειες, υπάρχουν τόσο εσωτερικά όσο και εξωτερικά φορτία ηλεκτρικού πεδίου. Η επιλεγμένη επιφάνεια για τη λειτουργικότητα του νόμου gauss ονομάζεται επιφάνεια Gauss, αλλά αυτή η επιφάνεια δεν πρέπει να διέρχεται από κανένα είδος μεμονωμένων φορτίων. Αυτό χρησιμοποιείται κυρίως για την απλοποιημένη ανάλυση του ηλεκτροστατικού πεδίου στο σενάριο που το σύστημα διατηρεί κάποια ισορροπία . Αυτό θα συμβεί μόνο όταν επιλέξουμε μια ακριβή επιφάνεια Gauss.Παραδείγματα1). Μια κλειστή επιφάνεια Gauss στον τρισδιάστατο χώρο όπου μετράται η ηλεκτρική ροή. Με την προϋπόθεση ότι η επιφάνεια του Gauss είναι σφαιρική που περικλείεται με 40 ηλεκτρόνια και έχει ακτίνα 0.6 μέτρα. Υπολογίστε την ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια Βρείτε την ηλεκτρική ροή που έχει απόσταση 0.6 μέτρα από το πεδίο που μετράται από το κέντρο της επιφάνειας. η σχέση που υπάρχει μεταξύ του κλειστού φορτίου και της ηλεκτρικής ροής.ΑπάντησηΜε τον τύπο της ηλεκτρικής ροής μπορεί να υπολογιστεί το καθαρό φορτίο που περικλείεται στην επιφάνεια. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με πολλαπλασιασμό φορτίου για το ηλεκτρόνιο με ολόκληρα τα ηλεκτρόνια που εμφανίζονται στην επιφάνεια. Χρησιμοποιώντας αυτό, μπορεί να γίνει γνωστή η διαπερατότητα ελεύθερου χώρου και η ηλεκτρική ροή.Φ = Q/є0 = [40(1.60 * 10-19)/8.85 * 10-12]= 7.42 * 10-12 Newton*meter/CoulombAnswerΑναδιάταξη της εξίσωσης της ηλεκτρικής ροής και η έκφραση της περιοχής ανά ακτίνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου.Φ = EA = 7.42 * 10-12 Newton*meter/CoulombE = (7.42 * 10–)/A= (7.42 * 10–)/ 4∏(0.6)2 Καθώς η ηλεκτρική ροή έχει άμεση αναλογία με το κλειστό ηλεκτρικό φορτίο, αυτό σημαίνει ότι όταν το ηλεκτρικό φορτίο στην επιφάνεια αυξάνεται, τότε θα ενισχυθεί και η ροή που διέρχεται από αυτήν. ΠλεονεκτήματαΤα πλεονεκτήματα του νόμου του γκαους Σε σύγκριση με το νόμο του κουλόμπ, παρέχει συγκεκριμένη κατεύθυνση δύναμης με την κατάλληλη ακρίβεια με τις κατάλληλες γενικές περιπτώσεις. Το θεώρημα Gauss είναι πιο αποτελεσματικό σε όλα τα κλειστά αντικείμενα και επιφάνειες για την εύρεση ηλεκτρικού πεδίου και επίσης θα λειτουργήσει αποτελεσματικά στη διαδικασία διανομής σε σύγκριση με νόμο του κουλόμπ. ΜειονεκτήματαΤα μειονεκτήματα του νόμου του γκαους είναι τα εξήςΟ περιορισμός του νόμου του γκαους είναι ότι υπολογίζει το ηλεκτρικό πεδίο μόνο σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του gauss στον υπολογισμό του πεδίου λόγω του ηλεκτρικού διπόλου.ΕφαρμογέςΑκολουθούν οι σημαντικές εφαρμογές του νόμου GaussΑυτό είναι πιο χρήσιμο για την επίλυση πολύπλοκων ηλεκτροστατικών προβλημάτων που περιλαμβάνουν μοναδικές συμμετρίες όπως κυλινδρική, σφαιρική ή επίπεδη συμμετρία. Αυτό μπορεί να είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό της έντασης του πεδίου λόγω του άπειρου μήκους ομοιόμορφα φορτισμένου καλωδίου. Εάν η κατανομή φορτίου δεν έχει συμμετρία εφαρμογής, σε αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον νόμο για να υπολογίσουμε τα σημειακά πεδία φορτίου των μεμονωμένων στοιχείων φορτίου που υπάρχουν στο αντικείμενο. Αυτός ο νόμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για απλοποιήστε την αξιολόγηση του ηλεκτρικού πεδίου απλά και εύκολα. Σε ορισμένες από τις πολύπλοκες καταστάσεις, όπου ο υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου είναι πολύπλοκος, τότε αυτός ο νόμος χρησιμοποιείται σε ολοκληρωμένη μορφή. Επομένως, όλα αυτά αφορούν μια επισκόπηση του νόμου του Gauss - ορισμός , τύπος, μονάδα SI, μαθηματική έκφραση, παραγωγή, διάγραμμα, στα διηλεκτρικά, στη μαγνητοστατική, σημασία, παραδείγματα με λύσεις, πλεονεκτήματα, μειονεκτήματα και εφαρμογές του.

Αφήστε μήνυμα 

Λίστα μηνυμάτων